ご相談いただきありがとうございます。
娘さんの断乳のご相談ですね。
１歳１か月ということですが、離乳食は完了されていますか？
１歳を過ぎる頃には離乳食が終わり栄養源が「乳」から「食べ物」へと移行してくる時期ですね。
私も断乳で悩んだことがあるのでよく分かります。
なかなかやめられないということですが、産まれたときからの習慣できっと娘さんにとってはおっぱいを飲んでいる時間が気持ちの安定剤となっているのでしょうね。
私も１歳過ぎにやめようと断乳をしたことがありますが、昼間は順調に過ぎたものの夜中に根負けして飲ませてしまってなかなかスムーズには進みませんでした。
そのとき、何かの本で母乳は子供がやめたいときにやめさせてあげようという文章を読んで、明日からやめる！というような断乳ではなく、卒乳という形で見届けようと思い１歳７か月まで飲ませました。

やはり夜中の授乳は歯が生え揃ってくると虫歯の原因となったり、深い睡眠を妨げたりということからできれば２歳くらいまでにはやめられるといいですよね。
お子さんも少しづつ時間がかかるかもしれませんが、行動量や食事量も増えて母乳に執着することがなくなってくる時期がやってくると思います！
ママもお子さんに付き合うのは大変だと思いますが、本人が飲まない！という気持ちになるまでもう少し付き合ってみてはいかがでしょうか？

１歳半を目安に少しづつ・・夜中に起きたときはコップでお水やお茶を飲ませたり、眠くなった時は歌を歌ったり本を読んだり、何か気を紛らわす方法があるといいですよね。それまでは寝る前の授乳の際は歯を磨いたり、お茶を飲ませたりするとよいでしょう。
ママの言葉が理解できるようになっていたら、おっぱいを卒業する理由をしっかりとお話して「バイバイ」できるとよいと思います。
私は子供が「もう僕飲まないよ」と言った時には、うれしい反面今までつながっていた子供のとの線が一つなくなったような気持ちになり、さみしく思ったことを覚えています。子供のはじめての自立のようなものですね。
おっぱいを飲む時期はほんとに短い貴重な時間ですから、ママもお子さんも「もういいね～！」と思えるまで少しのんびりした気持ちでいられるとよいのではないでしょうか？＾＾後から思いだすととっても大切な時間だったと思われる日がくると思います。