質問、有難うございます。
御本人さん（質問者）が、夫と同様、「うつ病」と診断されると仮定して、内緒にしていたとしても、いつか露見する（バレる）と考えます。

同じ病院を受診する場合、「夫婦一緒に受診」という事ならば、時間的に無駄は省けると思いますが、夫婦仲が悪い状況（信頼関係にヒビが入っている状況）では、そもそも「夫婦一緒に」という事は無いと考えます。

「夫婦別々に」という事ならば、「病院が同じか、違うか」の差は、病院が同じ場合は、「御本人さんを診察する医師が、夫の病状を把握できる」「夫を診察する医師が、御本人さんの病状を把握できる」といった程度で、「家庭環境（近況）についての説明が省ける」という程度と考えます。
逆に、病院が違えば、「お互いが個人（他人）として受診できる」ために、精神的なストレスが軽減できると考えます。（夫と同じ病院ならば、変に身構えてしまうのではと考えます。）

以上から、「別々の病院を受診する」事を、自分ならば推奨します。
どうしても同じ病院に通う必要が生じた場合には、紹介状を作成して頂くと良いです。

回答は以上です。
他に疑問が有りましたら、気軽に相談して下さい。