痰がからみやすいです。

質問、有難うございます。
扁桃腺が大きい場合、扁桃腺に膿などが生じやすく、少々の風邪でも「抗菌薬（細菌を退治する薬剤）」が必要になるケースが多いです。
そういった事も踏まえ、内科的には「去痰薬（痰を排出しやすい薬）」を処方して、少しでも症状が悪化しないように心掛けます。

しかし、御本人さんの場合は、内科的な対処では不十分かも知れません。
まずは内科で「必要な薬剤（抗菌薬・去痰薬など）を処方して頂くのがお勧めですが、最終的には「耳鼻咽喉科」を受診して頂くのが最善と考えます。
（最初から、耳鼻咽喉科を受診する方が、話が早いかも知れません。）

なお、申し訳有りませんが、「医療を介さない方法」は、思い浮かびません。

回答は以上です。
他に疑問が有りましたら、気軽に相談して下さい。